Mapas de Karnaugh: Guía Completa

La tabla que muestra cada valor de uno o de muchos montos sencillos o con varios componentes, es la Tabla de la Verdad. Es la solución para los estudiantes para hacer un cálculo lógico proposicional o con la Álgebra Booleana. Aunque, existe otro método que es equivalente a las tablas de la verdad, pero simplifica la labor, llamada mapas de Karnaugh.

MAPAS DE KARNAUGH 1

¿Qué son los Mapas de Karnaugh?

Es un esquema que se utiliza con frecuencia para reducir y empequeñecer una aplicación y término de operaciones de los cálculos de Boole, haciendo un esquema del modelo dando como resultado la realización de las operaciones grandes en una simple expresión booleana.

Es muy parecida a la Tabla de la Verdad, hace el cálculo de los montos que pueden ser mostrados en las distintas variables que tienen entrada y dando un resultado en la salida. También se le llama “Mapa-k”, y es definido como la serie de recuadros en la que cada uno de ellos se le otorga una numeración binaria, respecto a los montos que se encuentran en la entrada.

La cantidad de recuadros o celdas que se encuentran en los Mapas de Karnaugh es similar a total de la composición de los montos que están en la entrada, al igual que funciona en la Tabla de la Verdad se usa al conjunto de columnas, por ejemplo, en un mapa que cuente con tres valores, entonces cuando el dos se eleva a tres el resultado es ocho (23=8).

En los Mapas de Karnaugh se debe colocar los montos de tal forma que las columnas y los recuadros horizontales permanezca la diferencia de un monto, de esta manera se minimiza a una manera fácil de seis valores.

Las Características de los Mapas de Karnaugh

Es una metodología que tiene una gran variedad de prototipos que dan un abanico de contenido y finalidades:

  • Una de las metodologías que se usan con frecuencia para reducir los cálculos algebraicos de Boole.
  • El nombre que le fue asignado es “Tabla de Karnaugh” o el “Diagrama de Veitch”.
  • Conocido también de una manera simplificada en su nombre como “K-Mapa o KV-Mapa”.
  • El físico Maurice Karnaugh y también matemático quien pertenecía a los Laboratorios de Bell, fue el creador en el año 1950.
  • Sirve para simplificar el resultado de las sumas.
  • Es el resultado de la suma o la unión de unos resultados.
  • Es la composición de un grupo de rectángulos.
  • Se basa en operaciones automáticas.
  • Cada uno de los recuadros compone a una hilera de la tabla de la verdad.
  • En este cuadro se colocan las cantidades de la verdad de una máxima dispuesta.
  • Dependiendo de los valores que tengan en la tabla de la verdad, se pueden colocar los montos de sus unidades.
  • Es una tabla que muestra la combinación de los valores de unas funciones de “N” valores.
  • Está compuesta por el dos elevado a “N” filas (2N).
  • En las cuales se unen dos cuadrados y se anula un valor, cuando se unen cuatro cuadros se anulan dos valores, de esa manera se va siguiendo el proceso.
  • En cada casilla se coloca un valor, que solo puede ser “0” o “1”.
  • Dependiendo del monto que se le asigne a cada función de la columna. Se utiliza hasta llegar a ocupar seis valores.
  • Se puede hacer para funciones que tengan un mínimo de dos rangos de suma de resultados.
  • Es una elección que se encuentren distintos valores, aunque sean semejantes.
  • Cuando en una operación se hace la unión de los valores, de la misma manera son eliminados los montos que se integran.
  • Se usa los recuadros que se encuentran libres de una manera que, en medio de las casillas, sin importar la posición tengan una aproximación lógica.
  • En estos mapas de” K”, existen unos minterms contiguos, los cuales se precisan como un par de ellos, que tienen diferencia en las variables.
  • Cada una de las agrupaciones determina a una expresión del resultado, y el término que concluye debe ser “OR” (que es una suma) de todos los valores del resultado.
  • Si se relacionan los cuadros en el mapa-K, se une un valor de minterms, resultando potencia del número “2”.
  • Se recomienda para funciones que tengan un máximo de seis valores.

  • Cuando el las casillas se encuentran un gran número de “1” unidos, la terminación queda con dos valores, cuando se unen ocho “1” se deben eliminar tres valores para llegar a un término de un solo valor.
  • Las funciones se encuentran expresadas de manera canónica.
  • Con este mapa se puede lograr armar un circuito digital, el cual resulta perfecto para las funciones de álgebras hacia la electrónica.
  • Cuenta con una gran variedad de uniones de minterms
    en los mapas.
  • El mapa dependerá de la cantidad de valores que se encuentren en el comienzo de la función.

Cómo es la Manera de Hacer el Mapa-K

En el cuadro de matriz se puede contar con diferentes procedimientos que dan una respuesta que se espera, en lo que sigue se mostrará la metodología de este mapa.

El primer Paso

  • Se debe colocar en una tabla lógica tres variables, las cuales se designan con las letras “ABC”.
  • Luego utilizando la lógica, que se encargará de hacer el procedimiento para obtener un resultado “Y” que se necesita.
  • El resultado es respectivamente óptimo. Ofreciendo un mayor coste por su ejecución.
  • Con este tipo de tablas Karnaugh, se logra la simplificación y se mejora la manera de colocar las variables en la tabla, ubicando los “1” de la función “Y” en la posición que le corresponde.

mapas-de-karnaugh-7

El Segundo Paso

  • Aquí se les da definición a las líneas de las matrices.
  • Como muestra, se da a la línea plana en la cual se asignan las variables “AB”, y en la columna el valor “C”.
  • Los valores deben estar incrementados, aquí se deben señalar las nulas con una raya en la parte alta de la variable o también se usa una comilla.

El Tercer Paso

  • Se colocan en el mapa los valores “ABC” respectivamente con el importe de mayor valor del egreso “Y”.
  • Cada uno de los valores deben estar ubicados, en sus posiciones.
  • 1” en la posición A´BC´; “1” para la posición ABC´ y “1” en el punto A´BC.
  • Estas variables llevan el calificativo de minterms.

El Cuarto Paso

  • Se procede a ejecutar la reducción a través del mapa-k.
  • Las respectivas expresiones lógicas son cercanas, eliminando los valores adicionales.
  • En ciertas circunstancia la sumatoria de las respectivas expresiones llamadas minterms de “Z” anula al valor de “A”, porque esta se presente de manera adicional.
  • Seguidamente con la acción de lógica de Boole.
  • En un proceso sencillo, se tiene que definir que un valor se debe anular en el momento de la sumatoria.
  • Para terminar la suma de “Z+X” es el resultado de la relación simplificada de los valores de la tabla de los valores.

¿Cuál es la Ventaja de los Mapas de Karnaugh?

En el año 1953, quien desarrolló la metodología o la manera de reducir las operaciones fue el ingeniero Maurice Karnaugh, por medio de unos cuadros o tablas, ofreciendo alternativas, donde se da un ejemplo en lo siguiente.

MAPAS DE KARNAUGH 2

En las tablas de Karnaugh se permite seleccionar la manera de transformar un cuadro de la verdad de funciones de Boole, de una manera SOP simplificada. Por lo que está dando opciones de normas simples para realizar la reducción y resaltando en dar una sencillez para realizar el método.

Dando la oportunidad de que el método sea sencillo y no se tome mucho tiempo en hacerlo, demostrando que tiene eficiencia cuando se compara con otros métodos de lógica

Las Reglas de los Mapas de Karnaugh

La construcción de este gráfico tiene que estar regida por las normas como han sido explicados, por esta razón se muestra un listado de las instrucciones que se debe consumar para este fin.

Lo primero que se debe realizar es verificar que la única forma de cumplir los grupos de los términos es tomando el valor de “1”.

Estos grupos solo se pueden hacer de manera plana y lineal. Hay que percatarse que todos los grupos deben estar integrados por 2n valores, tratando que cada grupo esté integrado por las variables (1,2,4, 8,…,2n) cantidad de dígitos de una a uno.

Para que la tabla o mapa termine con una buena reducción, se tiene que tratar a la agrupación con mayor complejidad.

Siempre se debe estar pendiente y no dejar de un lado a la variable “1”. y permite que se superpongan las agrupaciones de “1”.

mapas-de-karnaugh-8

Las agrupaciones pueden unirse con los cuadros que se encuentran en las extremidades del mapa. También se debe analizar el mínimo de los grupos que se pueda, todo bajo las normas dichas anteriormente.

¿Cuáles son los Pasos para la Reducción de los Mapas de Karnaugh?

Para realizar los pasos de esta reducción en la tabla de K, se debe seguir una metodología con distintos valores en el inicio y se aconseja la utilización de dos a cinco montos. Es por esto que en lo siguiente se explica todo el recorrido que se debe hacer para hacer la disminución correcta.

¿Como crear los Mapas de Karnaugh?

A continuación tener presente lo que se va a indicar:

  • Deben tener muchos cuadros del modo 2n, estando “n” el monto del valor.
  • Una muestra sería la variable 2 de la tabla resultaría de cuatro cuadros, en el caso de 3 valores el cuadro corresponde a ocho y si es un valor de 4 entonces los cuadros serán dieciséis.
  • Al final se puede visualizar como quedaría el mapa con respecto al número de valores del inicio.

¿Cómo se combinan los Valores en la Entrada?

Lo que se necesita es que al final del mapa las fases se encuentren en 0 y 1 dependiendo de la composición de los valores que se localicen en el inicio.

En un ejemplo de un mapa que tenga 3 valores.

  • Se deben anexar los valores de A y B en la parte de arriba del punto superior, estando en las líneas verticales.
  • En estas líneas verticales del mapa se encuentra las probables mezclas de estos 2 valores: 00, 01, 11 o 10.
  • En la parte horizontal, se debe de poner los valores que restan.
  • Los valores de C, y los estados probables en cada línea que son 0 o 1.
  • Siempre se debe estar pendiente de que los 0 y 1 de cada valor se encuentren ordenados como se encuentran en los mapas alcanzados.

  • Es parte de la norma que cuando se hace una relación a otro mapa, lo que debe cambiar es el monto de cada variable.

Llenar los Valores de la Salida

Los mapas de Kamaugh después de su creación se completa con la información, las variables del final para cada grupo de las variables del inicio.

Solo se cuenta con dos opciones, una es que se disponga de la tabla de la verdad y la otra es que se cuente con la definición lógica del mapa eléctrico. Lo común es que se use la tabla de la verdad.

Luego se pasa al contenido lógico, contando con los datos de la tabla realizada. En esta tabla se debe de poner un “0” en la casilla en la que se hace la composición de los valores del final, la variable “0” en esta tabla y también el “1” en la casilla en la que se encuentra la composición de los valores del final “1” en dicha tabla.

Si se cuenta con la combinación lógica, hay que tener cuidado de las distintas composiciones de los valores de los resultados, estas se componen de la salida con un resultado en “1“.

¿Cómo se hace la Agrupación de 1?

Estos valores se deben unir de manera de par en par, de cuatro con cuatro, de ocho con ocho, y así sucesivamente. Cuando se realiza las agrupaciones de los “1” en el mapa, se tiene que hacer diferentes agrupaciones de “1” de (2n), es preciso que estos grupos se hagan con todos los “1” que sea necesario, no se debe tomar en cuenta que estos valores ya perezcan a otros grupos.

Lo importante es que estos grupos deben regirse con las normas, no pueden hacer uniones en forma diagonal, solo vertical y horizontal.

¿Cómo Obtener una Nueva Relación Reducida?

Se consigue un valor por cada agrupación de “1“, este es el resultado de la sumatoria de este. Los resultados se deben sumar.

Para conseguir el valor de la función se selecciona un grupo de “1“, al mismo tiempo se debe comprobar que los valores cambian de monto.

Si hay algún cambio de valor, así sea de (0 a 1) o de (1 a 0), ese valor queda nula.

¿Por qué Razón las Variables que Cambian son Eliminadas?

En el momento que se encuentra una variable que su valor se modifica, en los grupos de “1”, sucede que esa variable está multiplicando varias veces, una de un lado y la otra del otro lado. Y lo que se necesita es disminuir la función.

¿Cómo Radican los  Mapas de Karnaugh?

Radica en una conceptualización bidimensional de la función que se va a reducir. Cuando esta se presenta de manera de tabla de la verdad, en tal caso el mapa de K se visualizará de una manera parecida al “2D”.

Debido a que la primera tabla tiene “n” valores y tiene 2n columnas, el mapa de K está compuesto por celdas igualmente de 2n. La elaboración del mapa de K, codifica cada una de las cuadrillas con un número binario, de esta forma cada recuadro contiguo también tiene asignado un único dígito.

En la figura anterior se puede observar la muestra del código binario cuando se presenta una función de 4 valores. Las variables lógicas que se muestran (A, B, C, D) respectivamente pertenecen a un bit del código binario.

Cuando se lleva a la práctica no se necesita explicar cada cuadro; es suficiente interpretar el encabezado vertical y horizontal respectivamente, como se muestra.

Cuando ya se encuentra establecida la codificación binaria, cada cuadro de le asigna el un “1” si corresponde según la terminología canónica respectiva de la función, y si no se coloca un “0”. Cuando está hecha como una tabla de la verdad, está la opción de utilizar la expresión canónica para dar a conocer a la función.

Lo correcto es seleccionar la que contenga menos valores numéricos. Para esto solo se necesita seleccionar la manera que incluya menos cantidad de valores. Solo se necesita saber cuánta numeración existe en la interpretación lógica (corresponde a las columnas que tengan “1”).

Si la cantidad de interpretaciones compensan a la fórmula y se encuentran menos que la cantidad de números que no ayudan, entonces se toma la manera canónica DNF. Si no se selecciona la forma CNF.

Cuando ya se tenga hecha el mapa de K, se empieza a realizar la simplificación de los números, en el caso de que se pueda. Haciendo grupos de cuadros que estén contiguos con variable “1”.

Seguidamente se explicará con un resumen el algoritmo de disminución de las maneras canónicas DNF.

Reducción de una Función Lógica con Expresión DNF

Cuando ya se tiene hecho los mapas de Karnaugh que expresa las funciones lógicas en DNF, el proceso es el siguiente.

Lo primero que se debe realizar, es la agrupación de las cuadrillas que tienen las variables “1” tomando en cuenta las normas:

Las agrupaciones deben estar formadas solamente por el valor “1”.

La cantidad de casillas que tienen la valoración “1” que se encuentran en una agrupación deben ser potencia del número “2” como (1, 2, 4, 8, 16, …, n).

Para la creación de las agrupaciones se tiene que tomar en cuenta que las tablas son toroidales, ya que las zonas distantes o las puntas son contiguas: la zona extrema del lado derecho es contigua a la zona extrema del lado izquierdo, de igual manera ocurre con el lado superior y el inferior. Como se puede ver en la imagen siguiente.

Las celdas que tiene variable “1” deben estar al menos en un grupo.

Las variables “1” que se encuentren en una casilla pueden estar en diferentes grupos.

La cantidad de agrupaciones debe ser poco.

Mientras los grupos sean de mayor tamaño, la disminución será más grande, en la cantidad de términos, como el número de literales con término.

Las agrupaciones pueden variar su tamaño.

Si en la función se encuentra una interpretación con valor “x” que no se pueda resolver. A las casillas que se encuentran a su lado se le asigna el valor de “x”.  Y estas no es necesario que se unan a una agrupación, aunque pueden usarse para ampliar las agrupaciones que ya se encuentran hechas.

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